Aljabar Linear Contoh

$3 x + y + 2 z = - 6$ , $2 x - 3 y - z = - 3$ , $x + 4 y + 3 z = - 3$

Step 1

Tentukan $A X = B$ dari sistem persamaan tersebut.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 \\ 2 & - 3 & - 1 \\ 1 & 4 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 6 \\ - 3 \\ - 3 \end{array}]$

Step 2

Tentukan balikan dari matriks koefisien.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Buat sebuah matriks yang dibagi menjadi dua bagian berukuran sama. Di sisi kiri, masukkan elemen matriks asli. Di sisi kanan, masukkan elemen matriks satuan. Untuk menemukan matriks balikan, gunakan operasi baris untuk mengonversikan sisi kiri ke dalam matriks satuan. Setelah selesai, matriks balikan asli akan berada di sisi kanan matriks ganda.

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ pada $R_{1}$ (baris $1$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan operasi baris $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (2) & (\frac{1}{3}) \cdot (1) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

Sederhanakan $R_{1}$ (baris $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 2 & - 3 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ pada $R_{2}$ (baris $2$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan operasi baris $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) - 3 & (- 2) \cdot (\frac{2}{3}) - 1 & (- 2) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 2) \cdot (0) + 1 & (- 2) \cdot (0) + 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Sederhanakan $R_{2}$ (baris $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ pada $R_{3}$ (baris $3$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{1}{3}) + 4 & (- 1) \cdot (\frac{2}{3}) + 3 & (- 1) \cdot (\frac{1}{3}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

Sederhanakan $R_{3}$ (baris $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{11}{3} & - \frac{7}{3} & - \frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ pada $R_{2}$ (baris $2$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan operasi baris $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} & - \frac{3}{11} R_{2} \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ (- \frac{3}{11}) \cdot (0) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{11}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{7}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (- \frac{2}{3}) & (- \frac{3}{11}) \cdot (1) & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{11} R_{2}$

Sederhanakan $R_{2}$ (baris $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ pada $R_{1}$ (baris $1$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{3}) \cdot (1) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{7}{11}) + \frac{2}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (\frac{2}{11}) + \frac{1}{3} & (- \frac{1}{3}) \cdot (- \frac{3}{11}) + 0 & (- \frac{1}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{2} + R_{1}$

Sederhanakan $R_{1}$ (baris $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{7}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ pada $R_{3}$ (baris $3$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan operasi baris $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} & - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ (- \frac{11}{3}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{11}{3}) \cdot (1) + \frac{11}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (\frac{7}{11}) + \frac{7}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (\frac{2}{11}) - \frac{1}{3} & (- \frac{11}{3}) \cdot (- \frac{3}{11}) + 0 & (- \frac{11}{3}) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{11}{3} R_{2} + R_{3}$

Sederhanakan $R_{3}$ (baris $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ pada $R_{3}$ (baris $3$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Ganti $R_{3}$ (baris $3$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (1) & (- 1) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Sederhanakan $R_{3}$ (baris $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & \frac{3}{11} & \frac{1}{11} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ pada $R_{1}$ (baris $1$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan operasi baris $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} & - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$

Ganti $R_{1}$ (baris $1$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{3}{11}) \cdot (0) + \frac{5}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (1) + \frac{3}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (- 1) + \frac{1}{11} & (- \frac{3}{11}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{11} R_{3} + R_{1}$

Sederhanakan $R_{1}$ (baris $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{2}{11} & - \frac{3}{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Lakukan operasi baris $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ pada $R_{2}$ (baris $2$ ) untuk mengubah beberapa elemen dalam baris tersebut menjadi $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan operasi baris $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ dengan tujuan mengubah beberapa elemen dalam baris menjadi nilai yang diinginkan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$

Ganti $R_{2}$ (baris $2$ ) dengan nilai aktual dari elemen-elemen untuk operasi baris $R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{11}) \cdot (0) + \frac{7}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (1) + \frac{2}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (- 1) - \frac{3}{11} & (- \frac{2}{11}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{11} R_{3} + R_{2}$

Sederhanakan $R_{2}$ (baris $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{5}{11} & 0 & \frac{4}{11} & \frac{3}{11} \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & 0 & - \frac{1}{11} & \frac{2}{11} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Karena determinan dari matriks tersebut adalah nol, maka tidak ada balikan.

Tidak ada balikan

Step 3

Karena matriks tidak mempunyai balikan, maka matriks tersebut tidak dapat diselesaikan menggunakan matriks balikan.

Tidak ada penyelesaian